Mathe - Frage zu Linearen Gleichungen

[csap2140]

Hi!

Also in Mathe kann ich eigentlich alles... bis auf eine Frage (die auch häufiger in der Prüfungen vorkommt)...


Gegeben sind irgendwelche Lineare Gleichungen...


als Antwort kommt unter anderem immer folgendes vor:

1) Das Gleichungssystem besitzt eine Ebene als Lösungsmenge
2) Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen
3) Das Gleichungssystem besitzt keine Lösung


2) Na gut... Das Gleichungssystem besitzt keine Lösung ist klar --> bei einer falschen Aussage innerhalb einer Gleichung!
3) Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen... ja wenn mehr variablen als Gleichungen vorhanden sind


Aber was bedeutet "Das Gleichungssystem besitzt eine Ebene als Lösungsmenge" ??????


--> Im Buch steht da irgendwas über... 1 Gleichung und 2 Variablen.... aber das ist doch eigentlich das gleiche wie unendliche viele Lösungen?...

[Aussie08]

Ich geb dir mal ein Beispiel.

-2x + 3y - 5z = -5
4x - 6y + 10z = 10

das ist ja eigentlich ein und dieselbe Gleichung. Die Gleichung beschreibt eine Ebene. Lösungsmenge ist also die komplette Ebene, das sind unendlich viele Lösungen.

Je nachdem, was als Antwortmöglichkeit geben ist, ist korrekt. Entweder unendlich viele oder die Ebene, das ist in diesem Fall das gleiche.

[csap2140]

Naja... ich hab hier ein Beispiel da ist das anders:

"Angabenheft zu Scrambling Nr.03"
"Grundlagen der Mathematik am 6.12.2010"


Gegegebn ist folgendes lineares Gleichungssystem:

4 / 1 / -1 (x) = 1
0 / 4 / -8 (y) = 6
0 / 2 / -4 (z) = 3



I: 4x + 1y - 1z = 1
II: 4y - 8z = 6
III: 2y - 4z = 3


folgende Antwortmöglichkeiten sind gegeben:

a) Das Gleichungssystem besitzt unendliche Lösungen
b) Das Gleichungssystem besitzt eine Ebene als Lösungsmenge
c) Das Gleichungssystem besitzt eine eindeutige Lösung x=y=z=1
d) Das Gleichungssystem besitzt keine Lösung
e) Das Gleichungssystem besitzt die eindeutige Lösung x=y=z=0


--> Hier würde ich ebenfalls sagen das es eine unendliche Lösung ist.... allerdings sind hier beide Antwortmöglichkeiten gegeben... was nun?

[joe10]

Wie löst du dieses Beispiel, dass du auf "unendliche Lösung" kommst?

Sorry für die blöde Frage, aber ich hab nur bei Matrizzen keinen Plan!

LG

[csap2140]

das sieht man eigentlich schon wenn man drauf schaut...

die 2 und 3 Gleichung sind das selbe (Multipliziere die 3 Gleichung mit 2 dann hast du das gleiche wie bei Gleichung 2)...
das heißt du hast mehr Variablen als Gleichungen... somit ist die Lösung unendlich da man beliebige Werte für die Variablen einsetzen kann...

[joe10]

Alles klar, ist logisch, vielen Dank!!!

[Aussie08]

Ich hab mich vielleicht nicht gut ausgedrückt, ich wollte dir nur veranschaulichen was "Lösungsmenge ist eine Ebene" bedeutet. Versuch mal dir vorzustellen, wie die Gleichungen geometrisch aussehen, so komm ich persönlich dann immer auf die Lösung.

Bei deinem Bsp hast du also 2 Geraden, die 2 Ebenen darstellen. Dafür findest du aber eine Lösung, das bedeutet, dass sich die beiden schneiden. Da du aber 3 Variablen bei 2 Gleichungen hast, kannst du eine frei wählen.

Wenn das hier heißen müsste "Lösungsmenge ist Ebene" dann müssten alle 3 Gleichungen identisch sein.


Sorry, aber ich kanns leider nicht so gut erklären.

[csap2140]

Das Problem ist... wie soll ich mir eine gleichung die zB x + y + z = 13 lautet vorstellen... ich kann mir die nur vorstellen wenn sie in der form von y = kx + d ist vorstellen...

gibt es für das keinen anderen lösungsansatz... ohne das ich mir das vorstellen muss... irgendwelche eigenschaften oder sonstwas?...


ich kapiers einfach nicht

[Aussie08]

Achso, jetzt versteh ich dein Problem.

2 Variablen erzeugen eine Gerade, also z.B 2x + 3y = 5
und 3 Variablen spannen eine Ebene auf. Hier hast du ein Koordinatensystem mit 3 Richtungen: x,y und z
(wenn ich jetzt mit Vektoren anfange ists ganz aus oder?^^)

Hilft dir das?

[csap2140]

also ist dann das so wenn....

3 Variablen wie zb x + y + z = 123 übrig bleiben dann wäre die Lösungsmenge eine Ebene...
und wenn 2 Variablen übrig bleiben ist die Lösungsmenge unendlich oder wie?

im prinzip verstehe ich das gerade so das...

2 variablen = 2-dimensional
3 variablen = 3-dimensional

????